安全的飞机和汽车，到制作好莱坞大片中的特效画面；从评估金融市场的风险，到开发拯救生命的药物，数值积分都在背后发挥着不可或缺的作用。



只要问题涉及“连续求和”或“计算总量”，而解析解又遥不可及时，数值积分就是科学家和工程师手中的利器。



当然，严格的来说，徐晓的问题仅仅只是基于数值积分而衍生出来的一个数学难题。



尽管它是这些难题中比较重要的一个。



但类似的难题，在数值积分计算这个庞大的领域中还有几十个甚至是上百个，乃至更多。



毕竟伴随着计算机渲染、计算物理、金融建模等领域，高维积分（维度可达数百甚至数千）的计算发展



传统的数值积分方法如梯形法则、辛普森法则等计算方法会完全失效，因此而衍生出来的新型计算方法和伴随而来的问题是必然的。



这意味着每有一个新的计算方法出现，就必然会有至少一个，或者两个，三个，乃至更不多目前人类无法解决的根本性的、尚未被证明的难题和开放性问题出现。



盯着桌上的稿纸思索了一会后，徐川捏着圆珠笔的右手动了起来。



“当p(x)= f(x)/I，其中 I=∫f(x)dx时，估计量f(x)/p(x)=I是常数，方差为零”



“也就是说f(x)/p(x)=I对于所有x，这意味着 p(x)= f(x)/I”



一行行的算式不断的落在洁白的稿纸上，捏在徐川指尖的笔尖就好似浪尖的一叶轻舟，从纸上划过一串流畅而工整的波浪。



虽然说‘高维积分最优重要性采样的存在性与构造性’对于目前的数学界来说仍然是一个悬而未决的猜想，难度不小。



但对于徐川来说，从数值积分领域衍生出来的问题却是他最拿手的研究领域之一。



毕竟数值积分的原理是基于黎曼积分定义与积分中值定理而构建的，其核心思想是用简单函数（如多项式）替代原函数进行积分。



对他来说，这些东西再复杂，也复杂不过他所完成的计算流体动力学。



而无论是可控核聚变反应堆中的等离子体湍流的计算，还是航天飞机在复杂几何域如飞机机翼、引擎磁场的流量、压力和热传递等难题，都远比这个问题要更加的复杂。



他连这些更复杂的数值计算难题都能搞定，更别提徐晓提出的这个高维积分计算领域的问题了。



毕竟对于如何通过数值逼近计算定积分近似值的理解，若是他自认第二，那没人可以称第一。



在黎曼猜想的研究的早期，关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的研究工作，基本就是通过逼近计算来完成的。



右手捏着圆珠笔，左手快速将徐晓通过邮件发送过来的附件里面的要求和问题细节过了一遍，徐川连眼皮都不眨一下的快速的将一行行的算式铺满了稿纸。



“有点意思.这里感觉不能继续用哈密顿蒙特卡洛计算方法的样子？”



盯着桌上的稿纸，徐川眼眸中带着兴趣，手中的圆珠笔也停了下来，一边在脑海中快速的思索着，一边轻声的念叨着。



“.如果再继续推进下去的话，在后续第三步对其进行收敛的时候会出现范围性的低有效维度和非光滑型错误。”



思索了几秒，那支捏在徐川手中的圆珠笔重新动了起来。



“对于具有有限混合不连续点的函数，准蒙特卡洛方法的收敛速率可以超越 O(N1)，甚至达到接近 O(N1 )，并且其对高维问题的有效性可以通过函数的有效维度或ANOVA分解来刻画。”



“然而它却是非名义上的维度，这里应该交叉熵方法来进行逼近，这样可以逐步调整提议分布。”



“不过它可能会出现收敛缓慢的问题。”



思索了几秒，徐川嘴角勾起了一抹弧度，紧接着将前面的一行步骤划掉，重新写下了一行算式。



“交叉熵方法计算起来速度太慢的话，那就用Lax算子把那些“额外”的初值挑出



来好了！”



“这样的话，至少能节省掉30%以上的繁琐计算步骤，效率能提升不少！”



自言自语的说了一句，捏在徐川指尖的笔尖从纸上划过，留下一串串流畅而工整的公式。



虽然说‘高维积分最优重要性采样的存在性与构造性’对于目前的数学界来说仍然是一个悬而未决的猜想，且难度不小。



但对于徐川而言，如果换个他并不是那么数学的领域，要解决这种难题可能需要一段不短的时间。



但数值计算与积分逼近这种研究方法的应用，却是他最擅长的领域之一。



写下了最后一行算式，徐川放下了手中的圆珠笔，整理了一下稿纸，将过程中那些没用的废纸挑出去后，认真的检查了两遍稿纸上的公式。



虽然说他可以确保自己的研究不会有问题，至少在这种对于他来说难度并不算高的问题上不会出现问题，但严谨却是印刻在他骨子里面的科学精神。



确认计算过程和解决方法并